【数理知识】矩阵函数的导数问题——多维函数的梯度

6Young2023-09-062024-05-15

矩阵函数如何求导？

我们可以连结一个多元函数对其所有变量的偏导数，以得到该函数的梯度（gradient）向量。具体而言，设函数$f:\R^n\rightarrow\R$的输入是一个$n$维向量$\textbf{x}=[x_1,x_2,…,x_n]^T$，并且输出是一个标量。函数$f(\textbf{x})$相对于$\textbf{x}$的梯度是一个包含$n$个偏导数的向量：
$$
\nabla_xf(x)=[\frac{\partial f(x)}{\partial x_1},\frac{\partial f(x)}{\partial x_2},…,\frac{\partial f(x)}{\partial x_n}]^T
$$
假设$\textbf{x}$为$n$维向量，在微分多元函数时经常使用以下规则:

对于所有$\textbf{A}\in\R^{m*n}$，都有$\nabla_\textbf{x}\textbf{Ax}=\textbf{A}^T$
对于所有$\textbf{A}\in\R^{n*m}$，都有$\nabla_\textbf{x}\textbf{x}^T\textbf{A}=\textbf{A}$
对于所有$\textbf{A}\in\R^{n*n}$，都有$\nabla_\textbf{x}\textbf{x}^T\textbf{A}\textbf{x}=(\textbf{A}+\textbf{A}^T)\textbf{x}$
$\nabla_\textbf{x}||\textbf{x}||^2=\nabla_\textbf{x}\textbf{x}^T\textbf{x}=2\textbf{x}$

同样，对于任何矩阵$\textbf{X}$，都有$\nabla_\textbf{X}||\textbf{X}||^2_F==2\textbf{x}$。正如我们之后将看到的，梯度对于设计深度学习中的优化算法有很大用处。